PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026

BÀI 3. ỨNG DỤNG CỦA TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
CỦA GÓC NHỌN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Kiến thức cần nhớ
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn
Cho góc nhọn . Xét
vuông tại có góc nhọn bằng . Ta có:
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là
của , kí hiệu
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền gọi là côsin của , kí hiệu là
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc gọi là tang của , kí hiệu
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc gọi là côtang , kí hiệu
.
* sin, côsin của góc nhọn luôn dương và bé hơn 1 vì trong tam giác vuông, cạnh huyền dài
nhất
Ta có bảng các giá trị lượng giác đặc biệt:

*) Chú ý: Cách tính chính xác cạnh đối và cạnh kề của góc cần viết tỉ số lượng giác
Chẳng hạn:
Viết tỉ số lượng giác của góc nhọn trong
tam giác

vuông tại

Xét

vuông tại

, có:

.

A

B

C

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
* Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc
kia.
* Cho và là hai góc phụ nhau, khi đó:
1

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV
,

,

Năm học 2025-2026

,
C

β

α
A

B

3. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của góc nhọn.
* Để tìm góc
.

khi biết

, ta có thể tìm góc

vì

rồi suy ra

A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1: Tại một thời điểm trong ngày, các tia nắng mặt trời tạo với phương ngang một góc bằng
, khi đó cột
có bóng trên mặt đất là đoạn
hệ thức nào đúng khi tính chiều cao của cột
?

dài

. Trong các hệ thức sau,

A

35°

H

B

A.

. B.

. C.

. D.

.

Câu 2: Một chiếc thang có chiều dài từ chân lên đến nấc thang cuối là
được đặt vào thân
cây cau như hình vẽ dưới đây, người ta đo được khoảng cách từ chân thang đến gốc cây
cau là

. Tính góc

tạo bởi thang và thân cây cau (làm tròn kết quả đến độ).

5m

α

2,5 m

A.

2

.

B.

.

C.

.

D.

.
Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV
Câu 3: Tia nắng chiếu qua điểm

Năm học 2025-2026

của tòa nhà tạo với mặt đất một góc

của tòa nhà một góc (hình vẽ). Cho biết
(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

và tạo với cạnh

và

. Tính

A. Sin y

0,75; tan y

1,45

B. Sin y

0,78; tan y

1,25

C. Sin y

0,35; tan y

1,35

D. Sin y

0,45; tan y

1,15

và

Câu 4: Tính chiều cao của tháp canh trong hình bên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A.

B.

C.

Câu 5: Hình bên mô tả một chiếc thang có chiều dài

D.
m được đặt dựa vào tường, khoảng

cách từ chân thang đến chân tường là
m. Tính góc tạo bởi cạnh
tường nằm ngang trên mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

A.
Câu 6: Tam giác

B.
ở hình bên (có

C.
) mô tả cột cờ

mặt đất là
. Người ta đo được độ dài
và
cột cờ. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét).

3

và phần

D.
và bóng nắng của cột cờ trên
. Tính chiều cao

của

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

A.

Năm học 2025-2026

B.

C.

D.

II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 7: Tại một thời điểm trong ngày, các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc bằng

,

bóng của một cây xanh trên mặt đất dài
(tham khảo hình vẽ). Tính chiều cao
của cây ra đơn vị mét và làm tròn kết quả đến hai chữ số phần thập phân.
A

55°

H

B
14,25 m

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 8: Một cái thang dài
dựa vào tường và tạo với tường một góc
. Chiều cao của
thang so với mặt đất là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

32°

A.

.

B.

.

4,8 m

C.

.

D.

.

Câu 9: Một cầu thủ sút bóng bị va vào mép xà ngang của cầu môn và bị bật ngược trở lại. Biết
cầu môn cao
và khoảng cách từ vị trí sút bóng đến chân cầu môn là
góc tạo bởi đường đi của quả bóng và mặt đất (kết quả làm tròn đến phút).

4

. Tính

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026
2,4m

α
25 m

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 10: Một khúc sông rộng khoảng
. Một con đò dự định chèo từ bờ bên này sang bờ bên
kia theo phương vuông góc với bờ
sông, nhưng do bị dòng nước đẩy
B
C
~~~~~~~~~~~~

xiên nên phải chèo khoảng
mới sang được bờ bên kia. Vậy
~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~
dòng nước đã đẩy con đò lệch đi 130~m~ ~ ~ ~ ~ ~150
một góc so với phương dự định
~ ~m~ ~
~ ~ ~?
~~~~~~~~~
ban đầu là bao nhiêu độ? (làm tròn ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ kết quả đến độ)
~~~~~~~~~~~~

A

A.

.

B.

Câu 11: Trên một cái thang dài

.

C.

.

D.

.

người ta ghi: “Để đảm bảo an toàn khi dùng thang, phải đặt

thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ
đến
”. Gọi
(với
) là
khoảng cách từ chân thang đến chân tường để đảm bảo an toàn khi sử dụng chiếc thang
này, tìm điều kiện của .
B'
B

A.
C.

.
hoặc

.

B.

.

D.

.

3,5 m

60°

A

Câu 12: Một máy bay cất cánh theo phương hợp với mặt đất một góc
, máy bay phải bay một đoạn đường

A'

70°

H

. Hỏi muốn đạt độ cao

dài bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến

mét)

5

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026

x

2500 m

23°

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP
Câu 13: Treo quả cầu kim loại nhỏ vào giá thí nghiệm bằng sợi dây mảnh nhẹ không dãn. Khi quả
cầu đứng yên tại vị trí cân bằng, dây treo có phương thẳng đứng. Kéo quả cầu khỏi vị trí
cân bằng một đoạn nhỏ rồi buông ra thì quả cầu sẽ chuyển động qua lại quanh vị trí cân
bằng. Khi kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng, giả sử tâm của quả cầu cách một khoảng
cm và cách vị trí cân bằng một khoảng
cm. Tính số đo góc tạo bởi sợi
dây
và vị trí cân bằng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

A.

B.

C.

Câu 14: Một người đứng cách chân tháp
phương nằm ngang một góc bằng 
khoảng
hai)

D.

nhìn lên đỉnh tháp với phương nhìn hợp với
. Biết mắt của người đó cách chân của mình một

, hỏi tháp cao bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ

58°
1,55 m
13,65 m

A.
6

.

B.

.

C.

.

D.

.
Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026

Câu 15: Một con thuyền đi với vận tốc
từ bờ bên này sang bờ bên kia hết
phút. Do
nước chảy mạnh nên đường đi của con thuyền đẩy lệch và tạo với bờ sông một góc một
góc
) (tham khảo hình vẽ). Nếu coi khúc sông đó có hai bờ song song thì chiều rộng
của khúc sông đó là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
B C

b

~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~
~ ~ ~ ~ ~ ~ 80°
~~~~~~~a
~~

A

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 16: Hai bạn Việt và Nam cùng chơi thả diều trên một bãi đất phẳng, sợi dây diều của bạn
Việt có độ dài

và dây diều tạo với phương ngang một góc

của bạn Nam có độ dài

còn sợi dây diều

và dây diều tạo với phương ngang một góc

. Cho biết

tầm mắt của cả hai bạn đều là
và coi các dây diều được thả hết và căng thẳng
(tham khảo hình vẽ). Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? (làm tròn kết quả đến
chữ số thập phân thứ hai).
A'

A

100 m

M

42°

N

1,55 m

C

96 m

(Việt)

B

M'
C'

45°

N'
(Nam)

B'

A. So với mặt đất thì diều của bạn Việt lên cao hơn diều của bạn Nam và cao hơn
.
B. So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn
.
C. So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn
D. So với mặt đất thì diều của hai bạn Việt và Nam lên cao bằng nhau.

.

Câu 17: Để phục vụ việc di chuyển của khách hàng giữa các tầng hàng trong siêu thị, người chủ
đầu tư thường cho lắp hệ thống thang cuốn tự động. Biết rằng thang cuốn có góc nghiêng
là

so với phương ngang và tốc độ truyền là

, khoảng cách giữa hai tầng liên

tiếp là
. Hỏi một người khi bước vào thang cuốn và đứng yên thì cần bao nhiêu
giây để có thể di chuyển từ tầng lên tầng ? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân
thứ nhất)
7

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026
A
AH = 4,2 m

35°

H

B

A.

giây.

B.

giây.

C.

giây.

D.

giây.

III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 18: Một người đang ở trên tầng thượng của một tòa nhà quan sát con đường chạy thẳng đến
chân tòa nhà. Anh ta nhìn thấy một người điều khiển chiếc xe máy đi về phía tòa nhà với
phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng
. Sau phút, người quan sát
vẫn nhìn thấy người điều khiển chiếc xe máy với phương nhìn tạo với phương nằm ngang
một góc bằng
. Hỏi sau bao nhiêu phút nữa thì xe máy sẽ chạy đến chân tòa nhà? Cho
biết vận tốc xe máy không đổi.
60°

C

A.

phút.

Câu 19: Để xác định chiều cao

B.

30°

D

phút.

C.

B

A

phút.

D.

phút.

của một ngọn núi, người quan sát đứng từ hai vị trí

cách nhau
trên mặt đất. Tại vị trí
tạo với phương nằm ngang một góc bằng

và

, người đó quan sát đỉnh núi với phương nhìn
; tại vị trí , người đó quan sát đỉnh núi với

phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng

(như hình vẽ). Tính chiều cao

của ngọn núi (đơn vị mét), biết rằng tầm mắt của người quan sát là
và giả thiết ba
điểm , , thẳng hàng (kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất).
A

34°

H

8

30°

B

C

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV
A.

.

B.

Năm học 2025-2026
.

C.

.

D.

.

Câu 20: Để xác định khoảng cách từ một gốc cây trên một hòn đảo nhỏ giữa biển đến vị trí con
sao biển
trên bãi cát (như hình bên dưới), người ta chọn một điểm
trên bãi biển
cách điểm

một khoảng

và dùng giác kế ngắm xác định được

. Tính khoảng cách

(kết quả làm tròn đến đơn vị mét).

A

75°

B

A.

9

.

B.

.

65°

C

BC = 1225 m

C.

.

D.

.

Đại số 9

;

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026

C. CÁC DẠNG TỰ LUẬN
Dạng 1.

Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc.

Phương pháp giải
 Nắm vững công thức các tỉ số lượng giác của một góc.
 Xác định chính xác cạnh đối, cạnh kề đối với một góc, từ đó đưa ra mối liên hệ để tính
được tỉ số lượng giác của góc, tính được số đo góc.
 Giải tam giác là tìm ra tất cả các cạnh và các góc của tam giác đó.
Bài 1. Cho tam giác
nhọn

vuông tại

. Biết

Bài 2. Cho tam giác
của góc

vuông tại

, có

Bài 3. Tam giác
vuông tại ,
rồi suy ra các tỉ số lượng giác của góc
Bài 4. Tam giác
góc .
Bài 5. Tính

cân tại

cm,

cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác

cm;

cm. Tính tỉ số lượng giác của góc

.

, có

, đường cao

. Tính các tỉ số lượng giác của

cho hình dưới đây

Bài 6. Cho tam giác
giác của góc

. Tính tỉ số lượng giác của góc

vuông tại

. Trong đó

. Từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc

. Tính các tỉ số lượng
.

Dạng 2. So sánh các tỉ số lượng giác mà không dùng máy tính hoặc bảng số
Phương pháp giải: Để sắp thứ tự dãy các tỉ số lượng giác cho trước, ta cần làm được hai bước
sau:
 Bước 1. Đưa về các tỉ số lượng giác trong bài toán cùng loại bằng cách sử dụng tính
chất: “Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc
kia”.
 Bước 2: Với hai góc nhọn
, ta có:
;

;
;

Bài 1. Hãy viết tỉ số lượng giác của các góc sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn

10

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026

Bài 2. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:
Bài 3. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần
a)

b)

Bài 4. Không dùng máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần :
a)
b)

.

Bài 5. So sánh các số sau:
a)
c)

và
và

b)

và

c)

d)

và

e)

và
và

Dạng 3. Bài toán thực tế.
Phương pháp giải

 Từ đề bài dựng được tam giác vuông, đưa ra các số đo góc và cạnh.
 Đưa bài toán thực tế về tài toán tỉ số lượng giác và giải quyết.
Bài 1. Hình bên mô tả một chiếc thang có chiều dài
cách từ chân thang đến chân tường là
trên mặt đất (làm tròn đến hàng đơn vị)

m được đặt dựa vào tường, khoảng

m. Tính góc tạo bởi cạnh

và phần nằm ngang

Bài 2. Treo quả cầu kim loại nhỏ vào giá thí nghiệm bằng sợi dây mảnh nhẹ không dãn. Khi quả
cầu đứng yên tại vị trí cân bằng, dẫy treo có phương thẳng đứng. Kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng
một đoạn nhỏ rồi buông ra thì quả cầu sẽ chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng. Khi kéo quả
11

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV
cầu khỏi vị trí cân bằng, giả sử tâm

của quả cầu cách

cân bằng một khoảng
cm. Tính số đo góc
tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Bài 3. Một con sông rộng

Năm học 2025-2026
một khoảng

tạo bởi sợi dây

cm và cách vị trí
và vị trí cân bằng (làm

Một chiếc đò ngang chèo vuông góc với dòng nước, nhưng vì

nước chảy nên phải di chuyển
mới sang được đến bờ bên kia. Hãy xác định xem, dòng nước
đã làm chiếc đò bơi lệch đi một góc bao nhiêu độ ?
Bài 4. Một vận động viên đánh quần vợt đang giao banh. Từ độ cao

anh ta muốn banh rơi ở vị

trí cách lưới
như hình bên dưới.
a) Tìm góc tạo bởi mặt sân và đường bay của banh ở hình bên dưới, biết banh bay chạm mép lưới.
b) Tìm độ cao

khi giao banh để banh không chạm lưới.

Bài 5. Một thanh chống dài
, hợp với tường một góc
để chống một tấm nhựa che nắng
như hình vẽ. Hỏi khoảng cách từ tường đến vị trí đặt đầu thanh chống trên tấm nhựa là bao nhiêu?

12

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026

D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C

2.D

3.B

4.A

5.D

6.C

7.B

8.C

9.D

10.A

11.B

12.B

13.B

14.C

15.B

16.B

17.A

18.D

19.C

20.A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT.
Câu 1: Tại một thời điểm trong ngày, các tia nắng mặt trời tạo với phương ngang một góc bằng
, khi đó cột
có bóng trên mặt đất là đoạn
hệ thức nào đúng khi tính chiều cao của cột
?

dài

. Trong các hệ thức sau,

A

35°

H

B

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Xét

vuông tại

, áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông, ta

có

.

Câu 2: Một chiếc thang có chiều dài từ chân lên đến nấc thang cuối là
được đặt vào thân
cây cau như hình vẽ dưới đây, người ta đo được khoảng cách từ chân thang đến gốc cây
cau là

. Tính góc

tạo bởi thang và thân cây cau (làm tròn kết quả đến độ).

5m

α

2,5 m

A.
13

.

B.

.

C.

.

D.

.
Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026
Lời giải

Chọn D
Ta có:

.

Vậy góc hợp bởi thang và thân cây cau là
.
Câu 3: Tia nắng chiếu qua điểm của tòa nhà tạo với mặt đất một góc
của tòa nhà một góc (hình vẽ). Cho biết
(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

và tạo với cạnh

và

. Tính

A. Sin y

0,75; tan y

1,45

B. Sin y

0,78; tan y

1,25

C. Sin y

0,35; tan y

1,35

D. Sin y

0,45; tan y

1,15

và

Lời giải
Xét ∆ABC vuông tại A
Có góc

và góc

là hai góc phụ nhau nên

Và
Câu 4: Tính chiều cao của tháp canh trong hình bên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải
Xét

vuông tại

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác trong tam giác vuông ABC ta có
, suy ra

hay

Vậy chiều cao của tháp canh gần bằng
14

(m)
mét.
Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV
A.

B.

Năm học 2025-2026
C.

D.

Câu 5: Hình bên mô tả một chiếc thang có chiều dài

m được đặt dựa vào tường, khoảng

cách từ chân thang đến chân tường là
m. Tính góc tạo bởi cạnh
tường nằm ngang trên mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

và phần

Lời giải
Ta có, góc tạo bởi cạnh
Xét tam giác
Vậy
A.
Câu 6: Tam giác

và phương năm ngang trên mặt đất là

vuông tại

, ta có: Cos

.
B.

C.

ở hình bên (có

D.

) mô tả cột cờ

mặt đất là
. Người ta đo được độ dài
và
cột cờ. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét).

và bóng nắng của cột cờ trên
. Tính chiều cao

của

Lời giải
Vì tam giác
A.

15

vuông tại
B.

nên
C.

D.

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026

II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU.
Câu 7: Tại một thời điểm trong ngày, các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc bằng

,

bóng của một cây xanh trên mặt đất dài
(tham khảo hình vẽ). Tính chiều cao
của cây ra đơn vị mét và làm tròn kết quả đến hai chữ số phần thập phân.

A

55°

H

B
14,25 m

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Xét

vuông tại

, áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông, ta

có

.

Vậy chiều cao của cây là

.

Câu 8: Một cái thang dài
dựa vào tường và tạo với tường một góc
. Chiều cao của
thang so với mặt đất là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

32°

A.

.

B.

.

4,8 m

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C

16

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026

B
32°

H

4,8 m

A

+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.
+
có:

vuông tại

, áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta

.
Vậy chiều cao của thang so với mặt đất là

.

Câu 9: Một cầu thủ sút bóng bị va vào mép bên trên của cầu môn và bị bật ngược trở lại. Biết
cầu môn cao
và khoảng cách từ vị trí sút bóng đến chân cầu môn là
góc tạo bởi đường đi của quả bóng và mặt đất (kết quả làm tròn đến phút).

. Tính

2,4m

α
25 m

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
2,4m

α
25 m

+ Tam giác

vuông tại

có

Vậy góc tạo bởi đường đi của quả bóng và mặt đất là

.
.

Câu 10: Một khúc sông rộng khoảng
. Một con đò dự định chèo từ bờ bên này sang bờ bên
kia theo phương vuông góc với bờ sông, nhưng do bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo
17

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026

khoảng
mới sang được bờ bên kia. Vậy dòng nước đã đẩy con đò lệch đi một góc
so với phương dự định ban đầu là bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến độ)
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
B

C

~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~
130 m
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~150
~ ~m~ ~
~ ~ ~?
~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~

A

+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.
+ Tam giác
vuông tại có
Vậy dòng nước đã đẩy con đò lệch đi một góc so với phương dự định ban đầu khoảng
.
Câu 11: Trên một cái thang dài

người ta ghi: “Để đảm bảo an toàn khi dùng thang, phải đặt

thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ
đến
”. Gọi
(với
) là
khoảng cách từ chân thang đến chân tường để đảm bảo an toàn khi sử dụng chiếc thang
này, tìm điều kiện của . Trong các kết quả sau, kết quả nào đúng?
(làm tròn kết quả đến hai chữ số phần thập phân).
A.
C.

.
hoặc

.

Lời giải

Chọn B

B.

.

D.

.

B'
B
3,5 m

70°

60°

A

A'

H

+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.
Khi thang tạo với mặt đất một góc có độ lớn
đến chân tường lần lượt là
18

và

và

thì khoảng cách từ chân thang

.
Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV
+ Tam giác

vuông tại

+ Tam giác

có

vuông tại

Do đó

Năm học 2025-2026
.

có

.

.

Câu 12: Một máy bay cất cánh theo phương hợp với mặt đất một góc
, máy bay phải bay một đoạn đường
(làm tròn kết quả đến mét)

. Hỏi muốn đạt độ cao

dài bao nhiêu mét?

x

2500 m

23°

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
A
x

2500 m

23°
H

B

+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ
Xét tam giác

Vậy

vuông tại

, ta có:

.

III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP
Câu 13: Treo quả cầu kim loại nhỏ vào giá thí nghiệm bằng sợi dây mảnh nhẹ không dãn. Khi quả
cầu đứng yên tại vị trí cân bằng, dẫy treo có phương thẳng đứng. Kéo quả cầu khỏi vị trí
cân bằng một đoạn nhỏ rồi buông ra thì quả cầu sẽ chuyển động qua lại quanh vị trí cân
bằng. Khi kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng, giả sử tâm của quả cầu cách một khoảng
cm và cách vị trí cân bằng một khoảng
cm. Tính số đo góc tạo bởi sợi
dây
và vị trí cân bằng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

19

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026

Lời giải
Xét

vuông tại

, ta có

Do đó
Vậy góc tạo bởi sợi dây
A.

và vị trí cân bằng có số đo khoảng

B.

C.

Câu 14: Một người đứng cách chân tháp
phương nằm ngang một góc bằng 
khoảng

.

D.

nhìn lên đỉnh tháp với phương nhìn hợp với
. Biết mắt của người đó cách chân của mình một

, hỏi tháp cao bao nhiêu mét? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

58°
1,55 m
13,65 m

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C

20

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026
A

58°

M

N

1,55 m

B

H
13,65 m

+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ
Gọi

là hình chiếu của

Vì

và

lên đoạn

.

là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang;

thẳng đứng nên tứ giác

và

nằm trên phương

là hình chữ nhật.

Suy ra:

;

.

+ Tam giác
vuông tại
nên
(áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông)
Ta có:

Vậy chiều cao của tháp là 

.

Câu 15: Một con thuyền đi với vận tốc
từ bờ bên này sang bờ bên kia hết
phút. Do
nước chảy mạnh nên đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc
(tham khảo hình
vẽ). Nếu coi khúc sông đó có hai bờ song song thì chiều rộng của khúc sông đó là bao
nhiêu mét ? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
B C

b

~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~
~ ~ ~ ~ ~ ~ 80°
~~~~~~~a
~~

A

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Đổi

phút =

giờ;

.

Quãng đường sông thuyền đã đi là
Vì hai bờ được coi là song song nên
+ Tam giác
21

vuông tại

nên
Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026

(áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông)
Vậy chiều rộng của khúc sông đó là

.

Câu 16: Hai bạn Việt và Nam cùng chơi thả diều trên một bãi đất phẳng, sợi dây diều của bạn
Việt có độ dài

và dây diều tạo với phương ngang một góc

của bạn Nam có độ dài

còn sợi dây diều

và dây diều tạo với phương ngang một góc

. Cho biết

tầm mắt của cả hai bạn đều là
và coi các dây diều được thả hết và căng thẳng
(tham khảo hình vẽ). Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? (làm tròn kết quả đến
chữ số thập phân thứ hai).
A'

A

100 m

M

96 m

42°

N

1,55 m

C

C'

B

(Việt)

45°

M'

N'
(Nam)

B'

A. So với mặt đất thì diều của bạn Việt lên cao hơn diều của bạn Nam và cao hơn
.
B. So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn
.
C. So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn
D. So với mặt đất thì diều của hai bạn Việt và Nam lên cao bằng nhau.
Lời giải
Chọn B
A'

A

100 m

M

96 m

42°

N

1,55 m

C

Theo bài ra ta có

(Việt)

M'

B

và

C'

45°

N'
B'

(Nam)

.

+ Tam giác
vuông tại
nên
(áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông)
So với mặt đất thì diều của bạn Việt có độ cao là

22

Đại số 9

.

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026

+ Tam giác
vuông tại
nên
(áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông)
So với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao là

Từ
và
suy ra
, hay diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt.
Vậy so với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn số
mét là:
.
Vậy so với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn
.
Câu 17: Để phục vụ việc di chuyển của khách hàng giữa các tầng hàng trong siêu thị, người chủ
đầu tư thường cho lắp hệ thống thang cuốn tự động. Biết rằng thang cuốn có góc nghiêng
là

so với phương ngang và tốc độ truyền là

, khoảng cách giữa hai tầng liên

tiếp là
. Hỏi một người khi bước vào thang cuốn và đứng yên thì cần bao nhiêu
giây để có thể di chuyển từ tầng lên tầng ? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân
thứ nhất)
A
AH = 4,2 m

35°

H

B

A.

giây.

B.

giây.

C.

giây.

D.

giây.

Lời giải
Chọn A
A

4,2 m
35°

H

B

Độ dài thang máy từ
+ Xét

vuông tại

lên tâng

23

.

có:

Vì thang máy có tốc độ truyền là
lên tầng

là đoạn

bằng thang cuốn là:

nên thời gian để một người di chuyển từ tầng
(giây).
Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026

IV – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 18: Một người đang ở trên tầng thượng của một tòa nhà quan sát con đường chạy thẳng đến
chân tòa nhà. Anh ta nhìn thấy một người điều khiển chiếc xe máy đi về phía tòa nhà với
phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng
. Sau phút, người quan sát
vẫn nhìn thấy người điều khiển chiếc xe máy với phương nhìn tạo với phương nằm ngang
một góc bằng
. Hỏi sau bao nhiêu phút nữa thì xe máy sẽ chạy đến chân tòa nhà? Cho
biết vận tốc xe máy không đổi.
60°

C

A.

phút.

B.

30°

D

phút.

B

A

C.

phút.

D.

phút.

Lời giải
Chọn D
Do Mặt đất là phương ngang nên
Gọi

và

(m/phút) là vận tốc xe máy, điều kiện

Vì xe máy đi từ
Xét

đến

vuông tại

trong

.
.

phút nên

, áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác ta có:
(do

Xét

vuông tại

)

, áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác ta có:
(do

Từ

và

suy ra

)

.

Xét tỉ số
Vậy thời gian để xe máy chạy từ
24

đến tòa nhà là

(phút).
Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV
Câu 19: Để xác định chiều cao

Năm học 2025-2026

của một ngọn núi, người quan sát đứng từ hai vị trí

cách nhau
trên Mặt đất. Tại vị trí
tạo với phương nằm ngang một góc bằng

và

, người đó quan sát đỉnh núi với phương nhìn
; tại vị trí , người đó quan sát đỉnh núi với

phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng

(như hình vẽ dưới đây). Tính

chiều cao của ngọn núi (đơn vị mét), biết rằng tầm mắt của người quan sát là
giả thiết ba điểm , , thẳng hàng (kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất).

và

A

34°

30°

H

A.

.

B.

B

.

C.

C

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
A

34°

I
H

Gọi

và

Gọi

là hình chiếu của điểm

B

E
C

475 m

lần lượt là điểm đặt mắt khi người quan sát đỉnh núi đứng ở vị trí

So với mặt đất thì
các tứ giác
,

và
,

Do đó

;
vuông tại

vuông tại

25

D 30°

trên

và

.

.

là phương thẳng đứng;
là hình chữ nhật.

và

là phương ngang nên

.

nên:
(do

)

(do

)

nên:

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV
Từ

và

Năm học 2025-2026

suy ra

Do đó chiều cao

của ngọn núi là

.

Câu 20: Để xác định khoảng cách từ một gốc cây trên một hòn đảo nhỏ giữa biển đến vị trí con
sao biển
trên bãi cát (như hình bên dưới), người ta chọn một điểm
trên bãi biển
cách điểm

một khoảng

và dùng giác kế ngắm xác định được

. Tính khoảng cách

;

(kết quả làm tròn đến đơn vị mét).

A

75°

B

A.

.

B.

65°

C

BC = 1225 m

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
+) Trước tiên ta chứng minh bài toán
Nếu

:

là tam giác nhọn thì

với

Thật vậy! Xét tam giác nhọn
, kẻ các đường cao
trong tam giác (như hình vẽ dưới đây).

.
thì các đường cao này nằm

A
D
E

B

vuông tại

26

C

, áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV
vuông tại

Từ

và

Năm học 2025-2026

, áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:

suy ra

Chứng minh tương tự, ta được
Do đó

.

Bài toán

được chứng minh.

+) Xét

, có

và

.
A

75°

B

65°

C

1225 m

Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác, ta có:

Vì

;

và

Áp dụng bài toán

nên

nhọn.

đã chứng ở trên, ta được:

.
.

Vậy khoảng cách

là

.

D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TỰ LUẬN
Dạng 1. Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Bài 1. Cho tam giác
nhọn

vuông tại

. Biết

. Tính tỉ số lượng giác của góc
Lời giải

27

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV
vuông tại

Năm học 2025-2026

nên

(cm)

Ta có
Bài 2. Cho tam giác
của góc

vuông tại

, có

cm,

cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác

Lời giải
Xét

vuông tại

Ta có

nên

(cm)

;

;

Bài 3. Tam giác
vuông tại ,
rồi suy ra các tỉ số lượng giác của góc

cm;

cm. Tính tỉ số lượng giác của góc

.
Lời giải

vuông tại

nên

(cm)
;

;
Bài 4. Tam giác
góc .

cân tại

, có

, đường cao

. Tính các tỉ số lượng giác của

Lời giải
cân tại

, đường cao

nên

định lí Phytagore tính được

là trung điểm của

nên

và áp dụng

.

Từ đó tính được:
;
Bài 5. Tính

28

cho hình dưới đây

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026
Lời giải

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác

vuông tại

, ta có:

.
Do góc

và góc

là hai góc phụ nhau nên ta có:

Bài 6. Cho tam giác
giác của góc

vuông tại

. Trong đó

. Từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc

. Tính các tỉ số lượng
.

Lời giải
Áp dụng định lý Phythagore ta có:

Vì góc

và góc

phụ nhau nên

Dạng 2. So sánh các tỉ số lượng giác mà không dùng máy tính hoặc bảng số
Bài 1. Hãy viết tỉ số lượng giác của các góc sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn

Lời giải
;
Bài 2. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:
Lời giải
;

từ đó ta có:

Bài 3. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần

29

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV
a)

Năm học 2025-2026

b)
Lời giải

a)

;

từ đó ta có:

b)

;

từ đó ta có:

Bài 4. Không dùng máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần :
a)
b)

.
Lời giải:

a) Ta có:

,

,

.

Vì

nên:

b) Ta có:

,

.

Vì

nên:
.

Bài 5. So sánh các số sau:
a)
c)

và
và

b)

và

c)

d)

và

e)

và
và

Lời giải:
a)

.

b)

c) Vì

mà

d) Vì

, mà

e)

.

c)

.

nên
nên

.
.

.

Dạng 3. Bài toán thực tế.
Bài 1. Hình bên mô tả một chiếc thang có chiều dài
cách từ chân thang đến chân tường là
trên mặt đất (làm tròn đến hàng đơn vị)

30

m được đặt dựa vào tường, khoảng

m. Tính góc tạo bởi cạnh

và phần nằm ngang

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026
A

H
B

Lời giải
Ta có, góc tạo bởi cạnh
Xét tam giác

và phương năm ngang trên mặt đất là

vuông tại

, ta có

Do đó:
Vậy góc tạo bởi cạnh

và phần nằm ngang trên mặt đất là

.

Bài 2. Treo quả cầu kim loại nhỏ vào giá thí nghiệm bằng sợi dây mảnh nhẹ không dãn. Khi quả
cầu đứng yên tại vị trí cân bằng, dẫy treo có phương thẳng đứng. Kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng
một đoạn nhỏ rồi buông ra thì quả cầu sẽ chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng. Khi kéo quả
cầu khỏi vị trí cân bằng, giả sử tâm

của quả cầu cách

cân bằng một khoảng
cm. Tính số đo góc
tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

một khoảng

tạo bởi sợi dây

cm và cách vị trí
và vị trí cân bằng (làm

Lời giải

31

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Xét

vuông tại

Năm học 2025-2026

, ta có

Vậy góc tạo bởi sợi dây

. Do đó

và vị trí cân bằng có số đo khoảng

Bài 3. Một con sông rộng

.

Một chiếc đò ngang chèo vuông góc với dòng nước, nhưng vì

nước chảy nên phải di chuyển
mới sang được đến bờ bên kia. Hãy xác định xem, dòng nước
đã làm chiếc đò bơi lệch đi một góc bao nhiêu độ ?
Lời giải

Ta ký hiệu các điểm đường như hình vẽ . Trong đó :

là chiều rộng của khúc sông.

là chiều dài mà chiếc đò bơi đến bờ bên kia và

là góc lệch của con đò khi

bị dòng nước đẩy.
vuông góc với

Xét

vuông tại

có:

Vậy chiếc đò bị dòng nước đẩy lệch một góc là:
Bài 4. Một vận động viên đánh quần vợt đang giao banh. Từ độ cao

anh ta muốn banh rơi ở vị

trí cách lưới
như hình bên dưới.
a) Tìm góc tạo bởi mặt sân và đường bay của banh ở hình bên dưới, biết banh bay chạm mép lưới.
b) Tìm độ cao

32

khi giao banh để banh không chạm lưới.

Đại số 9

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 9 - CHƯƠNG IV

Năm học 2025-2026

Lời giải

a) Trong tam giác vuông

ta có:

b) Khi giao banh để banh không chạm lưới

Vậy độ cao

khi giao banh để banh không chạm lưới là

Bài 5. Một thanh chống dài
, hợp với tường một góc
để chống một tấm nhựa che nắng
như hình vẽ. Hỏi khoảng cách từ tường đến vị trí đặt đầu thanh chống trên tấm nhựa là bao nhiêu?

Lời giải:
Ta ...