PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

BÀI 26. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ LIÊN QUAN TỚI PHÉP THỬ
PHẦN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Kết quả thuận lợi cho một biến cố liên quan tới phép thử
Cho phép thử

. Xét biến cố

quả của phép thử
cho

, ở đó việc xảy ra hay không xảy ra của

. Kết quả của phép thử

làm cho biến cố

tuỳ thuộc vào kết

xảy ra gọi là kết quả thuận lợi

.

2. Tính xác suất của biến cố liên quan đến phép thử khi các kết quả của phép thử đồng khả năng.
 Giả sử rằng các kết quả có thể của phép thử
biến cố

là đồng khả năng. Kho đó xác suất

bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố

Trong đó

là không gian mẫu của

là số phần tử của tập

,

và số phần tử của tập

là số kết quả thuận lợi cho biến cố

của
.

và

.

Cách tính xác suất của một biến cố
Việc tính xác suất của một biến cố
gồm các bước sau:
Bước 1: Mô tả không gian mẫu của phép thử. Từ đó xác định số phần tử của không gian mẫu
.
Bước 2: Chứng tỏ các kết quả có thể của phép thử là đồng khả năng.
Bước 3: Mô tả các kết quả thuận lợi cho biến cố
biến cố

. Từ đó xác định số kết quả thuận lợi cho

.

Bước 4: Lập tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố

với số phần tử của không gian mẫu

.
PHẦN B. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TẬP
I. Kết quả thuận lợi cho một biến cố
Bài toán 1. Xét phép thử tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất có

mặt. Gọi

là biến cố “nhận

được mặt mặt có số chấm là số nguyên tố”. Hãy liệt kê những kết quả thuận lợi cho biến cố

.

Hướng dẫn giải: Các kết quả thuận lợi cho biến cố là một tập con của không gian mẫu.
Lời giải
Ta có:
Đó là kết quả khi tung xúc xắc
Trong các số từ

đến

mặt.

có ba số nguyên tố

Vậy kết quả thuận lợi cho biến

là

.

.

Vậy có thể viết:
Nhận xét:

là tập con của

.
Trang: 1.

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Bài toán 2.
Bánh xe được chia thành

hình quạt bằng nhau,

đánh số thứ tự từ đến
. Quay bánh xe và quan
sát xem khi nó dừng thì mũi kim (được gắn cố định)
chỉ vào hình quạt số mấy (ta nói ngắn gọn là “kim chỉ
vào số mấy”).
Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố sau:

16

: “Kim chỉ vào số là ước của

2

3

15

4

14

5

13

6

12

7
11

: “Kim chỉ vào số là bội số của

1

10

9

8

”;
”.
Lời giải

Ta có:

.

Khi đó

Nhận xét:Ta ghi tập hợp
ước của
và

là các bội của

, không vượt quá

; tập hợp

là tập hợp các

.
là tập hợp con của tập

.

Bài toán 3. Bảng thống kê tuổi các thành viên tham gia câu lạc bộ bơi lội của một nhà văn hoá thiếu nhi.
Tuổi của các thành viên câu lạc bộ bơi lội
tuổi

tuổi

tuổi

tuổi Tổng số

Nam
Nữ
Tổng số
Lấy ngẫu nhiên một bạn trong danh sách để kiểm tra sức khoẻ ? Xét các biến cố:
: “Chọn được một bạn nữ

tuổi”;

: “Chọn được một bạn nữ”;
: “Chọn được một bạn nam

tuổi hoặc

tuổi”.

Hãy xác định số kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố

.

Lời giải
Kết quả thuận cho biến cố

là

.
Trang: 2.

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Tổng số thành viên nữ là
Tổng số bạn nam

nên có

tuổi hoặc

kết quả thuận lợi cho biến cố

.

tuổi là:
.

Vậy có

kết quả thuận lợi cho biến cố

.

Bài toán 4. Bảng biểu diễn kết quả thống kê của một bệnh viện về cân nặng của một số trẻ sơ sinh.
Cân nặng của một số trẻ sơ sinh
Cân nặng (g)

[2800;3000)

[3000;3200)

[3200;3400)

[3400; 3600)

Tổng số

4

17

10

5

36

3

18

8

3

32

Tần số Bé gái
Bé trai

Chọn ngẫu nhiên một trẻ sơ sinh trong số này. Xác định số kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố
sau:
: “Chọn được một bé gái thuộc nhóm có cân nặng trong khoảng [
: “Chọn được một bé cân nặng dưới

) (g)”;

g”;

: “Chọn được một bé trai cân nặng không dưới

g”;

Lời giải
Ta có kết quả thuận lợi cho biến cố
số kết quả thuận lợi cho biến cố

là

; số kết quả thuận lợi cho biến cố

là

là

;

.

Bài toán 5. Viết ngẫu nhiên một số chẵn có hai chữ số. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố “Số
tự nhiên được viết là bội của

”;

Hướng dẫn:

Bội của

.
Lời giải

Các bội của

có hai chữ số có dạng

.

Vậy các kết quả thuận lợi cho biến cố trên là:
Nhận xét:Số kết quả thuận lợi là
Bài toán tương tự:
Viết ngẫu nhiên một số lẻ không vượt quá
: “Số tự nhiên được viết là bội của

. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố

”;

Đáp số:

Trang: 3.

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

có

phần tử.

II. Xác suất của biến cố
Bài toán 6. Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình là vàng và xanh. Có hai gene ứng với hai kiểu hình
này là allele trội

và allele lặn

. Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: hạt trơn và

hạt nhăn. Có hai gene ứng với hai kiểu hình này là allele trội

và allele lặn

.

Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cặp gene của cây con được lấy ngẫu nhiên từ gene từ cây bố và
một gene từ cây mẹ. Phép thử là cho lai hai cây đậu Hà Lan, trong đó cây bố và cây mẹ có kiểu
hình là “hạt vàng nhăn”. Hỏi xác suất để cây con có kiểu hình như cây bố và cây mẹ là bao
nhiêu?
Lời giải
Ta có bảng sau:

Gọi

là biến cố '' cây con có hạt vàng nhăn ''.

Ta có:
Có hai kết quả thuận lợi cho biến cố

.

Vậy
Bài toán tương tự: Tính xác suất của biến cố

: “Cây con có hạt vàng và trơn”;

Đáp số:
Bài toán 7. Tấm bìa cứng

hình tròn được chia thành

và tấm bìa cứng
số

hình tròn được chia thành

. Trục quay của

bạm Bình quay tấm bìa
hình vẽ)

hình quạt có diện tích bằng nhau, đánh số

và

hình quạt có diện tích bằng nhau, đánh

được gắn mũi tên ở tên. Bạn Nam quay tấm bìa

,

. Quan sát xem mũi tên dừng ở hình quạt nào trên hai tấm bìa. (Xem
Lời giải

Trang: 4.

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Tính xác suất của các biến cố sau:
: “ Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào bằng

”;

: “ Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào nhỏ hơn

”;

: “ Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào là số chẵn ”.
Hướng dẫn: Viết tậm hợp

và các tập hợp

.

Lời giải
Ta có bảng sau:
A
B

Số phần tử của

là

;

.

Số kết quả thuận lơi cho biến cố E là:

Ta có: F =

Ta có: G =
Tập hợp G có 9 phần tử.

Trang: 5.

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Bài toán 8: Cho hai túi I và II, mỗi túi chứa 3 tấm thẻ được ghi các số 2; 4; 9. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi
ra một tấm thẻ và ghép thành số có hai chữ số với chữ số trên tấm thẻ từ túi I là chữ số hàng
chục. Tính xác suất các biến cố sau:
a) A: “Số tạo thành chia hết cho 4”
b) B: “ Số tạo thành là số nguyên tố”
Lời giải
Ta có:
Số phần tử của

là 9.

a) Ta có:

. Tập hợp A có 3 phần tử.

Vậy
b) Ta có:

. Tập hợp B có 1 phần tử.

Vậy
Bài toán tương tự:
Xét ba bạn An, Bình, Châu ngồi trên một dãy ghế có ba chỗ ngồi.
Tính xác suất các biến cố sau:
a) E: “An không ngồi ngoài cùng bên ngoài”
b) B: “Bình và Châu ngồi cạnh”
Hướng dẫn: Viết tập hợp các phần tử của không gian mẫu bằng cách liệt kê các kết quả.
Lời giải
Kí hiệu ba bạn An, Bình, Châu là A, B, C
Có các cách sắp xếp ba bạn vào dãy ghế:

Vậy
Số phần tử của

là 6.

a) Ta có:

Vậy
b) Ta có:
Vậy
Bài toán 9:
Tính xác suất của các biến cố sau:
Trang: 6.

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

E: “Trong hai bạn được chọn, có một bạn nam và một bạn nữ”
F: “Trong hai bạn được chọn có bạn Dung”
Hướng dẫn: Xem bài toán 7.
Số phần tử của tập hợp

là 6.
Lời giải

Ta có:

= {Hùng – Dũng; Hùng – Dung; Hùng – Nguyệt; Dũng – Dung;

Dũng – Nguyệt; Dung – Nguyệt}
E = {Hùng – Dung; Hùng – Nguyệt; Dũng – Dung; Dũng – Nguyệt}
Vậy
Bài toán 10: Bạn Hoàng lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ một túi đựng 2 quả cầu gồm một quả
màu đen và một quả cầu màu trắng, có cùng khối lượng và kích thước. Bạn Hải rút ngẫu nhiên
một tấm thẻ từ một hộp đựng 3 tấm thẻ A, B, C.
a) Mô tả không gian mẫu của phép thử
b) Xét các biến cố sau:
E: “Bạn Hoàng lấy được một quả cầu màu đen”
F: “Hoàng lấy được quả cầu màu trắng và bạn Hải không rút được tấm thẻ A”
Tính
Lời giải
a) Kí hiệu quả cầu đen, trắng thứ tự là Đ, T.
Ta có bảng sau:
Tấm thẻ
Quả cầu

A

B

C

1

(Đ;A)

(Đ;B)

(Đ;C)

2

(T;A)

(T;B)

(T;C)

Không gian mẫu có 6 phần tử.
b) Ta có:

Vậy

Vậy
Bài toán 11: Hộp thứ nhất đựng 1 quả bóng trắng, 1 quả bóng đó. Hộp thứ 2 đựng 1 quả bóng đó, 1 quả
bóng vàng. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 quả bóng.
a) Xác định không gian mẫu và số kết quả có thể xảy ra của phép thử.

Trang: 7.

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

b) Biết rằng các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Hãy tính xác suất của mỗi biến cố
sau:
A: “2 quả bóng lấy ra có cùng màu”
B: “Có đúng 1 quả bóng màu đỏ trong 2 quả bóng lấy ra”
Lời giải
a) Kí hiểu T là màu trắng, Đ là màu đỏ và V là màu vàng.
Không gian mẫu

= {(T;Đ); (T;V); (Đ;Đ); (Đ;V)}

Số kết quả cỏ thể xảy ra là
b) Vì các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng nên các kết quả trên có cùng khả năng
xảy ra.
Chỉ có một kết quả thuận lợi cho biến cố A là (Đ;Đ) nên

Xác suất của biến cố A là
Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là (T;Đ) và (Đ;V) nên

Xác suất của biến cố B là
Bài toán 12: Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm bốn hình quạt bằng nhau, đánh số 1; 2; 3; 4 và
được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm (hình vẽ).Bạn Tuấn quay tấm bìa hai lần, quan sát và
ghi lại số hình quạt và mũi tên chỉ vào.
Tính xác suất của các biến cố:
a) E: “Tổng hay số ghi trên hai hình quạt ở hai lần quay bằng 5”
b) F: “Tích hai số ghi trên hai hình quạt ở hai lần quay bằng 4”

Hướng dẫn:
Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và các phần tử của tập hợp E và tập hợp F.
Lời giải
a) Ta có bảng sau:
Lần 2
Lần 1
1

1

2

3

4

(1;1
)

(1;2)

(1;3
)

(1;4)
Trang: 8.

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

2

(2;1
)

(2;2)

(2;3
)

(2;4)

3

(3;1
)

(3;2)

(3;3
)

(3;4)

4

(4;1
)

(4;2)

(4;3
)

(4;4)

= {(1;1); (1;2); (1;3); (1;4); (2;1); (2;2); (2;3); (2;4); (3;1); (3;2); (3;3); (3;4)
(4;1); (4;2); (4;3); (4;4)}
Số phần tử của

là 16:

a) Ta có: E = {(1;4); (2;3); (3;2); (4;1)}

b) Ta có: F = {(1;4); (2;2); (4;1)}

Bài toán tương tự:
Có hai túi I và II, mỗi túi chứa 4 tấm thẻ được đánh số 1; 2; 3; 4. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra
một tấm thẻ và nhân hai số ghi trên tấm thẻ với nhau. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A: “Kết quả là một số lẻ”
b) B: “Kết quả là 1 hoặc một số nguyên tố”
Hướng dẫn:
Ta có bảng sau:
Túi II
Túi I

1

1

(1;1)

2

(2;1)

3

(3;1)

4

(4;1)

2
(1;2
)
(2;2
)
(3;2
)
(4;2
)

3

4

(1;3) (1;4)
(2;3) (2;4)
(3;3) (3;4)
(4;3) (4;4)

Ta có:
Lời giải
a) Ta có:

Trang: 9.

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Vậy
b) Ta có:

Vậy
Nhận xét: Em hãy tính

, với C là biến cố: “ Kết quả là một số chẵn”.

Đáp số:
Bài toán 13: Một bó hoa gồm 3 bông hoa màu đỏ và 1 bông hoa màu vàng. Bạn Linh chọn ngẫu nhiên 2
bông hoa từ bó hoa đó.
a) Liệt kê các cách chọn mà bạn Linh có thể thực hiện.
b) Tính xác suất của mỗi biến cố:
E: “Trong 2 bông hoa được chọn ra, có đúng 1 bông hoa màu đỏ''
F: “Trong 2 bông hoa được chọn ra, có ít nhất 1 bông hoa màu đỏ”.
Hướng dẫn:
Chọn hai bông không phân biệt thứ tự như bài 12, ta lập một tập hợp con của tập hợp 4 phần tử.
Kí hiệu các phần tử đã cho là Đ1, Đ2, Đ3 và V là thứ tự là ba bên màu đỏ và một bông hoa màu
vàng.
Lời giải
a) Kí hiệu các phần tử đã cho là Đ1, Đ2, Đ3 và V là thứ tự là ba bông hoa màu đỏ và một bông
hoa màu vàng.
Chọn ngẫu nhiên hai bông, ta có tập hợp A gồm các phần tử sau:
= {(Đ1; Đ2); (Đ1; Đ3); (Đ2; Đ3); (Đ1; V1); (Đ2; V1); (Đ3; V1)}
b) Ta có: R= {(Đ1; V1); (Đ2; V1); (Đ3; V1)}
Theo câu a), ta có:
Vậy
Tập hợp
Vậy
Bài toán 14: Một hộp chứa 5 quả bóng màu đỏ và một số quả bóng trắng. Các quả bóng có cùng kích
thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp, xem màu rồi trả lại hộp.Biết xác
suất của biến cố “ Lấy được quả bóng màu đỏ” là 0,25. Hỏi trong hộp có bao nhiêu quả bóng
màu trắng.
Lời giải
Gọi n là số quả bóng màu trắng có trong hộp.
Số cách chọn ra ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp là
Trang: 10.

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Do các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng nên các quả bóng cùng khả năng được
chọn.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố “ Lấy được quả bóng màu đỏ” là xác suất của biến cố là
Theo giải thiết, ta có:

= 0,25 hay

, ta được

Vậy có 15 quả bóng màu trắng trong hộp.
Bài toán tương tự:
1. Bạn Thắng có

tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến

. Bạn Thắng rút ngẫu nhiên một

tấm thẻ. Biết rằng xác suất của biến cố "Lấy được tấm thẻ ghi số có một chữ số” là
bạn Thắng có bao nhiêu tấm thẻ?
2. Một túi chứa

viên bi màu xanh và một số viên bi màu đỏ có cùng kích thước và khối

lượng. Bạn Luân lấy ra ngẫu nhiên
màu xanh" là

. Hỏi

viên bi. Biết rằng xác suất của biến cố "Lấy được viên bi

. Hỏi trong hộp có tổng số bao nhiêu viên bi?

Bài toán 15: Một hộp đựng

viên bi đỏ và xanh có cùng kích thước, khối lượng. Tìm số viên bi mỗi

màu, biết rằng xác suất của biến cố
một viên bi là

: "Lấy được bi đỏ" khi thực hiện phép thử lấy ngẫu nhiên

.
Lời giải

Gọi

là số viên bi đỏ trong hộp.

Ta có:

.

Theo giả thiết, ta có:

.

Vậy có

viên bi màu đỏ và

viên bi màu xanh.

Bài toán 16: Hình vẽ là biểu đồ thống kê số học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua. Lấy ngẫu nhiên một học
sinh trong số này.
Tần số
Nam

Nữ

10
8
6
4
2
0

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp

Tính xác suất của các biến cố:
a) Lấy được một học sinh nữ lớp
b) Lấy được một học sinh lớp

.

.

Trang: 11.

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

c) Lấy được một học sinh nam lớp

hoặc lớp

.

Lời giải
Tổng số học sinh:
Ta có:

.
.

a)

: "Lấy được một học sinh nữ lớp

.

b)

: "Lấy được một học sinh lớp 6 ".

c)

: "Lấy được một học sinh nam lớp

.

hoặc lớp

"

.

 HẾT 

Trang: 12.